Para minimizar el costo del metal, minimizamos el area superficial total
del cilindro (tapa, fondo y paredes) . Las paredes estan hechas de una lamina
rectangular de dimensiones 2
es
domingo, 7 de noviembre de 2010
Segunda solución al problema
Optimación (acercamiento al problema)
Ejercicio
.Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?
-Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?
Máximo,Mínimos e Inflexión
Máximos Y Mínimos
Recordemos que f derivable, es estrictamente creciente (decreciente) en a si, y sólo si f´(a) >0 (f´(a) <0); lo que geométricamente significa que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es positiva (negativa).
Recordemos también que si f derivable posee un máximo o un mínimo relativo en entonces f´(x) = 0; es decir, ese es un punto de tangente horizontal.
Veamos los criterios básicos para decidir si un punto es máximo o mínimo relativo:
Recordemos también que si f derivable posee un máximo o un mínimo relativo en entonces f´(x) = 0; es decir, ese es un punto de tangente horizontal.
Veamos los criterios básicos para decidir si un punto es máximo o mínimo relativo:
- Por la definición en un entorno del punto.
- Por la variación del signo de la derivada primera en un entorno del punto, aunque la función no sea derivable en dicho punto:
- f decreciente en (a,c) y creciente en (c,b) posee un mínimo en (c,f(c)).
- f creciente en (a,c) y decreciente en (c,b) posee un máximo en (c,f(c)).
- Por el signo de la derivada segunda en dicho punto (la función ha de ser dos veces derivable).
a. Si f´(a) = 0 y f´´(x) > 0, f posee en a un mínimo local.
b. Si f´(a) = 0 y f´´(x) < 0, f posee en a un máximo local.
Demostración:
- Por ser f´´(x) > 0 es f´ creciente en un entorno de a: a - h < a < a + h. Entonces:
f´(ah)< f´(a)=0 <f´(a+h)---> f´ (a-h)< 0 f´ decrec a la izq de a
f´ (a+h)> 0 f´ crec a la derch de a
b. Demostración análoga.
Interpretación geométrica
Al ser f´(a) = 0, (a,f(a)) es de tangente horizontal.
- Si f´´(a) > 0, en un entorno de a es f´´(x) > 0, es decir, las pendientes de las tangentes en dichos puntos aumentan.
- Si f´´(a) < 0, en un entorno de a es f´´(x) < 0, es decir, las pendientes de las tangentes en dichos puntos disminuyen.
Recordemos que los máximos y mínimos absolutos se encuentran entre los extremos relativos y aquellos en los que la función no es derivable o, ni siquiera, continúa.
Inflexión
Inflexión
Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasan de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.
En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.
Cálculo de los puntos de inflexión en funciones reales derivables de variable real
En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función a cero y despejar. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en la derivada tercera o sucesiva hasta que nos dé un valor diferente de cero. Cuando esto suceda, si la derivada para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivada par, no lo es. Más concretamente:
1. Se halla la primera derivada de f---> f´(x)
2. Se halla la segunda derivada de f--->f´´(x)
3. Se halla la tercera derivada de f--->f´´´(x)
4. Se iguala la segunda derivada a 0: f´´(x)=0
5. Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma:
x={X1,X2...Xn/f´´(Xi)=0 Vi=1,2,...n}
6. Se halla la imagen de cada
7. Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada
- Si f´´´(Xi) ≠ 0 , se tiene un punto de inflexión en P(Xi , f (Xi )).
- Si f´´´ (Xi )=0, debemos sustituir Xi en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que Xi no sea nulo, hay que ver qué derivada es:
a. Si la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión.
b. Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexión.
La ecuación f(x) = x4 + 2x no tiene puntos de inflexión, porque la derivada segunda es siempre mayor o igual a cero, por tanto no hay cambio de concavidad dado que es no negativa en todo su dominio. Sin embargo en x0 = 0 la derivada segunda se anula y la primera derivada no nula en x0 = 0 es la derivada cuarta, que es positiva. Obsérvese que f tampoco presenta un extremo en x0.
sábado, 6 de noviembre de 2010
Derivación Implícita
La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada dy/dx para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x-1 , obteniendo su derivada fácilmente:
dy/dx= -x-2 = -1/x2
El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x?
Si queremos hallar la derivada dy/dx para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x-1 , obteniendo su derivada fácilmente:
dy/dx= -x-2 = -1/x2
El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x?
Funciones implícita
Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.
Derivadas de funciones implícitas
Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:
X'=1.
En general y'≠1.
Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.
6x-2y=0
6-2y´=0 y´=3
x2 + y2 -7 =0
2x+ 2yy´=0 y´=-x/y
Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo:
y´= -Ftx / Fty
sec2 x+cosec2 y=0
y´=-2sec x sec x tg x/-2co sec y co sec y cot gy =
sec2 x tgx/co sec2 y cotgy
Ejemplo:
Derivación en cadena
En las reglas básicas de derivación se aplican fórmulas apropiadas para calcular las derivadas de las Funciones f + g (suma), f - g (diferencia), f g (producto) y f g (cociente). Pero no se presentó en esa sección una regla que nos diga cómo calcular la derivada de una composición de funciones; esto es, no sabemos cómo calcular la derivada de f ı g (g compuesta con f o bien g seguida de f).
Es, precisamente, la regla de la cadena la que nos dice cómo obtener la derivada de y D .f ı g/.x/.
La regla de la cadena no es más que una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones.Sus aplicaciones son variadas, pero la principal es en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.
Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,
f: I ---> R
y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,
g: f (I) ---> R
Entonces la función compuesta
g 0f : I ---> f (I) ---> R
Definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene
(g0f)´(X) = g´(f(x)) . f´(x)
Ejemplo. La derivada de la función f(x)=sen (3x2-1) es aplicando la regla de la cadena f’(x)=6x cos (3x2-1)
jueves, 4 de noviembre de 2010
Derivadas
la derivada es la pendiente de una recta cualquiera, la cual es tangente a una curva, que es continua en (a,b), si no es continua no es posible hallar la derivada. La derivada de una función en un valor de entrada dado que describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada.
Derivada de una función constante
La derivada de una función constante es cero. Esto es, si f(x) = c, para alguna constante c, entonces f’(x) = 0.
Formula:
Derivada de una función constante
La derivada de una función constante es cero. Esto es, si f(x) = c, para alguna constante c, entonces f’(x) = 0.
Formula:
Derivada de una funcion exponencial
La derivada de la función exponencial es igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.
Formula:
y La derivada de la función exponencial de base es igual a la misma función por la derivada del exponente.
Derivada de un producto
La derivada del producto de dos funciones es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda más la segunda función por la derivada de la primera.
Formula:
Derivada de un cociente
La derivada del cociente de dos funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador dividido todo por el cuadrado del denominador
Formula:
Derivada de una raíz cuadrada
La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.
Formula:
martes, 2 de noviembre de 2010
Optimización
Es el proceso de encontrar los mínimos y máximos de una función. Intenta dar respuesta a un tipo general de problemas donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos. En su forma más simple, el problema equivale a resolver una ecuación de este tipo:
Donde x = (x1,...,xn) es un vector y representa variables de decisión, f(x) es llamada función objetivo y representa o mide la calidad de las decisiones (usualmente números enteros o reales) y Ω es el conjunto de puntos o decisiones factibles o restricciones del problema.
Algunas veces es posible expresar el conjunto de restricciones Ω como solución de un sistema de igualdades o desigualdades.
Un problema de optimización trata entonces de tomar una decisión óptima para maximizar (ganancias, velocidad, eficiencia, etc.) o minimizar un criterio determinado (costos, tiempo, riesgo, error, etc). Las restricciones significan que no cualquier decisión es posible.
Optimización combinatoria
Optimización de topología multifase
Optimización multiobjetivo
videos
Donde x = (x1,...,xn) es un vector y representa variables de decisión, f(x) es llamada función objetivo y representa o mide la calidad de las decisiones (usualmente números enteros o reales) y Ω es el conjunto de puntos o decisiones factibles o restricciones del problema.
Algunas veces es posible expresar el conjunto de restricciones Ω como solución de un sistema de igualdades o desigualdades.
Un problema de optimización trata entonces de tomar una decisión óptima para maximizar (ganancias, velocidad, eficiencia, etc.) o minimizar un criterio determinado (costos, tiempo, riesgo, error, etc). Las restricciones significan que no cualquier decisión es posible.
Algunas de sus ramas son:
Optimización combinatoria
Optimización de topología multifase
Optimización multiobjetivo
Problemas de optimización
Un problema de optimización consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable. En otras palabras se trata de calcular o determinar el valor mínimo o el valor máximo de una función de una variable.
Se debe tener presente que la variable que se desea minimizar o maximizar debe ser expresada como función de otra de las variables relacionadas en el problema.
En ocasiones es preciso considerar las restricciones que se tengan en el problema, ya que éstas generan
igualdades entre las variables que permiten la obtención de la función de una variable que se quiere minimizar o maximizar.
En este tipo de problemas se debe contestar correctamente las siguientes preguntas:
_ ¿Qué se solicita en el problema?
_ ¿Qué restricciones aparecen en el problema?
La respuesta correcta a la primera pregunta nos lleva a definir la función que deberá ser minimizada
o maximizada.
La respuesta correcta a la segunda pregunta dará origen a (al menos) una ecuación que será auxiliar Para lograr expresar a la función deseada precisamente como una función de una variable.
http://www.youtube.com/watch?v=dGZx2882v6Y&feature=related
Problema de opitimización
Se desea diseñar una caja abierta con base cuadrada y un area de 108 pulgadas cuadradas de superficie, que dimensiones tiene que tener la caja para que su volumen sea maximo? Funcion objetivo:
Problema de opitimización
Se desea diseñar una caja abierta con base cuadrada y un area de 108 pulgadas cuadradas de superficie, que dimensiones tiene que tener la caja para que su volumen sea maximo? Funcion objetivo: =x^2h)
(Donde x^2 representa la base y h la altura)
Restriccion: 
Despejar una variable de la restriccion: 
Sustituir en la funcion objetivo: =x^2(\frac{108-x^2}{4x}) = 27x-\frac{x^3}{4})
con esto la funcion objetivo ya solo depende de una variable.
Derivar: =27-\frac{3x^2}{4})
Igualar a cero la derivada para encontrar puntos criticos: 
simplificando 
y 
Una respuesta negativa en el caso de que se esta buscando una medida para un objeto no tiene sentido.
Conociendo el valor de x ahora se puede obtener 
y se llega a 
Respuesta: las dimensiones de la caja son 6x6 pulgadas en la base y una altura de 3 pulgadas.
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