Derivación en cadena

En las reglas básicas de derivación se aplican fórmulas apropiadas para calcular las derivadas de las Funciones f + g (suma), f - g (diferencia), f g (producto) y f g (cociente). Pero no se presentó en esa sección una regla que nos diga cómo calcular la derivada de una composición de funciones; esto es, no sabemos cómo calcular la derivada de f ı g (g compuesta con f o bien g seguida de f).

Es, precisamente, la regla de la cadena la que nos dice cómo obtener la derivada de y D .f ı g/.x/.

La regla de la cadena no es más que una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones.

Sus aplicaciones son variadas, pero la principal es en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,

f: I ---> R

y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,

  g: f (I) ---> R

Entonces la función compuesta

g 0f : I ---> f (I) ---> R

Definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene

  (g0f)´(X) = g´(f(x)) . f´(x)

Ejemplo. La derivada de la función f(x)=sen (3x²-1) es aplicando la regla de la cadena f’(x)=6x cos (3x²-1)