Derivación Implícita

La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada dy/dx para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x^-1 , obteniendo su derivada fácilmente:
dy/dx= -x^-2 = -1/x²

El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x² - 2y³ + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x?

Funciones implícita

Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.

Derivadas de funciones implícitas

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

X'=1.

En general y'≠1.

Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

6x-2y=0

6-2y´=0                    y´=3

x² + y² -7 =0

2x+ 2yy´=0                y´=-x/y

Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo:

y´= -F^tx / F^ty

sec² x+cosec²  y=0

y´=-2sec x sec x tg x/-2co sec y co sec y cot gy =

sec² x tgx/co sec² y cotgy

Ejemplo:

^{http://www.youtube.com/watch?v=oneC1gsSQaM&feature=related}