Máximo,Mínimos e Inflexión

Máximos Y Mínimos

Recordemos que f derivable, es estrictamente creciente (decreciente) en a si, y sólo si f´(a) >0 (f´(a) <0); lo que geométricamente significa que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es positiva (negativa).

Recordemos también que si f derivable posee un máximo o un mínimo relativo en entonces f´(x) = 0; es decir, ese es un punto de tangente horizontal.

Veamos los criterios básicos para decidir si un punto es máximo o mínimo relativo:

1. Por la definición en un entorno del punto.
2. Por la variación del signo de la derivada primera en un entorno del punto, aunque la función no sea derivable en dicho punto:
1. f decreciente en (a,c) y creciente en (c,b) posee un mínimo en (c,f(c)).
2. f creciente en (a,c) y decreciente en (c,b) posee un máximo en (c,f(c)).
3. Por el signo de la derivada segunda en dicho punto (la función ha de ser dos veces derivable).

a.    Si f´(a) = 0 y f´´(x) > 0, f posee en a un mínimo local.

b.    Si f´(a) = 0 y f´´(x) < 0, f posee en a un máximo local.

Demostración:

1. Por ser f´´(x) > 0 es f´ creciente en un entorno de a: a - h < a < a + h. Entonces:

f´(ah)< f´(a)=0 <f´(a+h)---> f´ (a-h)< 0  f´  decrec a la izq de a

                                           f´ (a+h)> 0  f´  crec a la derch de a

b.    Demostración análoga.

Interpretación geométrica

Al ser f´(a) = 0, (a,f(a)) es de tangente horizontal.

1. Si f´´(a) > 0, en un entorno de a es f´´(x) > 0, es decir, las pendientes de las tangentes en dichos puntos aumentan.
2. Si f´´(a) < 0, en un entorno de a es f´´(x) < 0, es decir, las pendientes de las tangentes en dichos puntos disminuyen.

Recordemos que los máximos y mínimos absolutos se encuentran entre los extremos relativos y aquellos en los que la función no es derivable o, ni siquiera, continúa.

Inflexión

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasan de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.

En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.

Cálculo de los puntos de inflexión en funciones reales derivables de variable real

En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función a cero y despejar. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en la derivada tercera o sucesiva hasta que nos dé un valor diferente de cero. Cuando esto suceda, si la derivada para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivada par, no lo es. Más concretamente:

1. Se halla la primera derivada de     f---> f´(x)

2. Se halla la segunda derivada de   f--->f´´(x)

3. Se halla la tercera derivada de    f--->f´´´(x)

4. Se iguala la segunda derivada a 0:   f´´(x)=0

5. Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma:

x={X₁,X₂...X_n/f´´(Xi)=0 Vi=1,2,...n}

6. Se halla la imagen de cada X_i sustituyendo la variable dependiente en la función.

7.       Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada : X_i

1. Si f´´´(X_i) ≠ 0  , se tiene un punto de inflexión en P(X_i , f (X_i )).
2. Si f´´´ (X_i )=0, debemos sustituir X_i en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que X_i no sea nulo, hay que ver qué derivada es:

a. Si la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión.

b. Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexión.

La ecuación f(x) = x⁴ + 2x no tiene puntos de inflexión, porque la derivada segunda es siempre mayor o igual a cero, por tanto no hay cambio de concavidad dado que es no negativa en todo su dominio. Sin embargo en x₀ = 0 la derivada segunda se anula y la primera derivada no nula en x₀ = 0 es la derivada cuarta, que es positiva. Obsérvese que f tampoco presenta un extremo en x₀.